ブロッホの定理の第二の証明 - Misakichi’s ログblog

基本的な事柄だが、しっくり理解できたのでメモ

波動関数を平面波で展開した式
${\displaystyle \psi(r)=\sum_qc_qe^{iqr} }$
（ただしこのqは逆空間中に存在するすべてのqでブリルアンゾーン内外に存在する）
また周期ポテンシャルを平面波で展開すると
${\displaystyle U(r)=\sum_K U_Ke^{iKr} }$
（ただしポテンシャルは格子と同じ周期をもつので、そのフーリエ展開成分は逆格子ベクトルの和で構成される）
をシュレーディンガー方程式
${\displaystyle (-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(r)) \psi(r) = \varepsilon \psi(r) }$
に代入し、
${\displaystyle \frac{\hbar}{2m}\sum_q q^2 C_q e^{iqr}+\sum_K \sum_q U_K C_q e^{i(K+q)r}=\varepsilon\sum_qC_qe^{iqr} }$
ここでフーリエ係数を比較するために
${\displaystyle \sum_K \sum_q U_K C_q e^{i(K+q)r}=\sum_K \sum_{q'} U_K C_{q'-K} e^{iq'r} }$
と変形すると便利

それぞれのqに対応するフーリエ成分が、両辺で等しくなければいけないので基本方程式
${\displaystyle (\frac{\hbar^2}{2m} q^2-\varepsilon)C_q + \sum_K U_K C_{q-K}=0 }$
が得られる。これは $C_k$ 、 $C_{k±K}$ 、 $C_{k±2K}$ ....が満たすべき方程式である。
もしこの方程式を解ければ、波動関数は
${\displaystyle \psi_k=\sum_K C_{k-K}e^{i(k-K)r} }$
で表される。これは
${\displaystyle \psi_k=e^{ikr}(\sum_K C_{k-K}e^{-iKr}) }$
と書けるのでブロッホの型をしている。rの代わりにr+Tを代入しても右の項は変化しない。したがって
${\displaystyle \psi_k=e^{ikr}u(r) }$
の形に書ける。（ブロッホ関数）

また例えば異なる波数を持つ①kと②k'を第一ブリルアンゾーン中にとってみて、それぞれに対する基本方程式を解くことを考えてみる。するとそれぞれのエネルギー固有値に対して① $C_k$ 、 $C_{k±K}$ 、 $C_{k±2K}$ ....の値が得られ同様に② $C_{k'}$ 、 $C_{k'±K}$ 、 $C_{k'±2K}$ ....の値も得られる。それぞれに属する波動関数は異なる波動関数。図にして示すと
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それぞれの解には、丸で示したエネルギー固有値が存在し、そのそれぞれに波動関数が存在する。